-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy path14.html
124 lines (124 loc) · 13.2 KB
/
14.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
<head>
<meta charset="UTF-8"/>
<meta name='viewport' content='width=device-width' />
<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico" />
<link rel="apple-touch-icon" sizes="57x57" href="apple-touch-icon-57x57.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="60x60" href="apple-touch-icon-60x60.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="72x72" href="apple-touch-icon-72x72.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="76x76" href="apple-touch-icon-76x76.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="114x114" href="apple-touch-icon-114x114.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="120x120" href="apple-touch-icon-120x120.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="144x144" href="apple-touch-icon-144x144.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="152x152" href="apple-touch-icon-152x152.png">
<link rel="apple-touch-icon" sizes="180x180" href="apple-touch-icon-180x180.png">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-32x32.png" sizes="32x32">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-194x194.png" sizes="194x194">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-96x96.png" sizes="96x96">
<link rel="icon" type="image/png" href="android-chrome-192x192.png" sizes="192x192">
<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-16x16.png" sizes="16x16">
<link rel="manifest" href="/manifest.json">
<link rel="mask-icon" href="safari-pinned-tab.svg"><!--color="#5bbad5"-->
<meta name="apple-mobile-web-app-title" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="application-name" content="SomeBasicMathsNotions">
<meta name="msapplication-TileColor" content="#da532c">
<meta name="msapplication-TileImage" content="mstile-144x144.png">
<meta name="theme-color" content="#e0cb5c">
<title>Алгебра | дробно-рациональные уравнения</title>
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({
CommonHTML: { linebreaks: { automatic: true } },
"HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true } },
SVG: { linebreaks: { automatic: true } }
});
</script>
<script type="text/javascript" src="MathJax/MathJax.js?config=MML_HTMLorMML"></script>
<link rel="stylesheet" href="normalize.css">
<link rel="stylesheet" href="main.css">
</head>
<body>
<header>
<h1><span>∑</span>Некоторые алгебраические понятия - определения и работа с ними</h1>
</header>
<main>
<article>
<h1>Решение дробно-рациональных уравнений. Возникновение посторонних корней. Функция обратной пропорциональности и её свойства.</h1>
<section>
<h2>Дробно-рациональные уравнения</h2>
<p>
Для многих задач требуется решение уравнений - например, <a href="7.html">квадратных</a>, но также часто встречаются пропорции и другие дробно-рациональные уравнения.
</p>
<p>
Дробно-рациональные уравнения - это подвид рациональных уравнений (состоящих из <a href="1.html">рациональных выражений</a>). Если хотя бы одна из частей рационального уравнения является дробным выражением (<a href="2.html">алгебраическая дробь</a>), то такое уравнение называется <i>дробно-рациональным</i> (или дробным рациональным).
</p>
</section>
<section>
<h2>Посторонние корни</h2>
<p>
Так как в дробно-рациональных уравнениях присутствует алгебраическая дробь в том или ином виде, то появляются значения, при которых уравнение не имеет смысла - алгебраическая дробь предполагает деление, а деление на 0 не определено. Выходит, появляется область допустимых значений для переменной, а если возможное решение уравнения находится за границами этого множества (этой области), то оно не является решением, хотя и может казаться таковым - оно является посторонним корнем. Они часто возникают при любых способах решений дробно-рациональных уравнений, поэтому при их решении прежде всего требуется определить <abbr title="область допустимых значений">ОДЗ</abbr> переменной. Следует также добавить, что при работе с функциями и <a href="3.html">построении их графиков</a> область допустимых значений переменной - область определения функции тоже следует определять в первую очередь (и не только во время полного <a href="15.html">исследования функции</a>). ВСЕ недопустимые значения будут выколотыми точками на графике - в них функция не существует. Поэтому о выколотых точках всегда следует помнить при работе с функцией обратной пропорциональности (о которой речь пойдёт позже).
</p>
</section>
<section>
<h2>Решение дробно-рациональных уравнений</h2>
<p>
Что же касается самого решения дробно-рациональных уравнений, можно привести наиболее надёжный и рациональный вариант.
</p>
В общем случае можно выделить определённый алгоритм решения для любых дробно-рациональных уравнений:
<ol>
<li>Определить ОДЗ переменных.</li>
<li>Перенести всё в левую сторону так, что справа останется 0 (конечно, не забыв сменить знак).</li>
<li>Свести всё в одну дробь (провести необходимые преобразования для сведения уравнения к виду <i>p(x)/q(x)=0</i>, где p(x) и q(x) - многочлены).</li>
<li>Откинуть знаменатель и приравнять числитель к нулю (так как дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен 0). Далее решить получившееся уравнение.</li>
<li>Взять корни уравнения, находящиеся в ОДЗ (выявление и исключение посторонних корней).</li>
</ol>
</section>
<section>
<h2>Функция обратной пропорциональности</h2>
<p>
Теперь после рассмотрения дробно-рационального уравнения логично рассмотреть более общее понятие дробно-рациональной функции и понятие функции обратной пропорциональности.
</p>
<figure>
<img src="Hyperbola.svg" alt="Hyperbola">
<figcaption>Функция y = x<sup>-1</sup></figcaption>
</figure>
<p>
Функция обратной пропорциональности - это функция равная числу обратному аргументу функции прямой пропорциональности: функция и аргумент у функции обратной пропорциональности являются обратными числами.
</p>
Функция обратной пропорциональности c коэффициентом 1: <i>y=1/x</i> или <i>y=x<sup>-1</sup></i> (<a href="13.html">узнать больше о степени с отрицательным показателем</a>).<br>
Область определения: D(x)=(-∞;0)∪(0;+∞).<br>
Область значений: E(y)=(-∞;0)∪(0;+∞).<br>
Данная функция является <i>нечётной</i>.<br>
<p>
Но на самом деле, это самый простой случай. В целом, <i>обратной пропорциональностью</i> называют любую функцию, которую задают формулой <i>ƒ(x)=k/x</i>, где <i>x</i> - независимая переменная (аргумент), <i>k</i> - не равное нулю число (коэффициент пропорциональности). Любым противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции - если график никуда не сдвигать и говорить именно об обратной пропорциональности, то график симметричен относительно начала координат.
</p>
<p>
Для всех обратных пропорциональностей верно следующее: их графиком является коническое сечение - гипербола, которая находится в двух координатных четвертях (в I и III или, если коэффициент пропорциональности отрицателен, во II и IV).
</p>
<p>
Об этой функции можно многое сказать в общем, но удобнее будет отдельно рассмотреть её свойства с положительным и отрицательным коэффициентом (начиная с положительного).
</p>
<p>
При положительном <i>k</i> значения аргумента и функции имеют один знак. Если x>0 и x→+∞, то y→0; если x>0 и x→0, то y→+∞. Если x<0 и x→-∞, то y→0; если x<0 и x→0, то y→-∞.
</p>
<p>
При отрицательном <i>k</i> можно утверждать, что происходит умножение функции на -1 (см. <a href="3.html">элементарные преобразования графиков функций</a>) - отражение графика относительно Oy со всеми вытекающими изменениями: значения аргумента и функции имеют противоположный знак. Если x<0 и x→+∞, то y→0; если x>0 и x→0, то y→-∞. Если x<0 и x→-∞, то y→0; если x<0 и x→0, то y→+∞.
</p>
<p>
Зная график функции y = x<sup>-1</sup> – ƒ(x), можно с лёгкостью построить график любой функции <i>y<sub>1</sub>=k/x</i>, используя элементарные преобразования графиков. Зная их, можно легко понять, что коэффициент обратной пропорциональности отвечает за сжатие/растяжение графика.
</p>
<p>
Также следует отметить, что в графике всё той же функции ƒ(x) оси графика (абсцисса и ордината) являются <i>асимптотами</i> гиперболы. <dfn>Асимптоты</dfn> - это линии (прямые), расстояние от точки кривой до которых стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Интересным фактом является то, что среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы.
</p>
<p>
При работе с подобными функциями есть горизонтальная и вертикальная асимптоты. Если производить преобразования функции, то асимптоты сдвигаются соответственно, и их нужно вычислять для построения.
</p>
</section>
</article>
</main>
<footer>
fedor1113<br/>
<a href="index.html">К остальным темам</a>
</footer>
</body>
</html>